ATTIVITA' DI RECUPERO

SVOLGIMENTO DELLA 6^ FASE

Da una serie di prove orali in itinere e dalla prova scritta finale, possono emergere delle difficoltà di apprendimento riguardanti l’aspetto cognitivo e applicativo. Se le carenze riguardano la maggior parte della classe e riguardano solo alcuni argomenti dell’unità didattica trattata, si può dedicare del tempo al loro riesame, cercando di diversificare la metodologia didattica. Se le difficoltà evidenziate sono prevalentemente applicative, si possono proporre esercizi mirati di vario tipo, da risolvere individualmente alla lavagna, con l’aiuto dell’insegnate, oppure in gruppo.
Se invece le lacune sono limitate ad alcuni studenti, si possono prevedere corsi di recupero della durata che dipende dalla gravità delle insufficienze. Se gli alunni partecipanti al corso di recupero sono sufficientemente motivati e presentano delle difficoltà di comprensione e applicazione, si possono approfondire i seguenti aspetti: la comprensione del testo di un problema con l’aiuto della rappresentazione dei dati nel piano cartesiano; attenzione all’esecuzione delle operazioni di calcolo; esame e verifica dei risultati, anche per via grafica.
Nel caso in cui, invece, sia la conseguenza di mancanza di impegno ed interesse, si devono attuare delle particolari strategie didattiche. Il corso, infatti, non deve essere una ripetizione della lezione svolta in classe, ma si devono attuare attività alternative, per esempio lavori di gruppo con produzione di un elaborato finale.
In ogni attività di recupero, svolta in classe durante l’orario scolastico o in orario pomeridiano, è sempre importante aver fissato un percorso con dei contenuti e con degli obiettivi precisi e limitati. Bisogna creare negli studenti la consapevolezza delle loro difficoltà ed aiutarli a ritenerle superabili suggerendo magari anche un migliore metodo di studio.

VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

SVOLGIMENTO DELLA 5^ FASE

Per verificare le conoscenze e le competenze acquisite dall’alunno, e per valutare l’adeguatezza delle metodologie didattiche applicate, oltre ad una serie di prove orali in itinere, si propone alla classe una prova scritta al termine degli argomenti trattati.
Tale prova consiste nello svolgimento di 5 esercizi, ad ognuno dei quali vengono attribuiti 2 punti. Per ottenere la sufficienza è necessario il raggiungimento di almeno 6 punti.



Un esempio di prova di verifica da proporre alla classe può essere la seguente:

1) Date le rette d’equazione r: y = -4x + 3 e s: y = x-2, trovare il loro punto d’intersezione sia analiticamente che graficamente.

2) Determinare l’equazione della retta w passante per i punti A(-2;6) e B(2;-2).

3) Determinare l’equazione della retta v parallela alla retta t: y = -x + 4 e passante per il punto C(-2;5).

4) Scrivere le equazioni delle rette disegnate










5) Calcolare la distanza del punto P(3;4) dalla retta z: y = 2x + 5 . Rappresentare graficamente.

LEZIONE 4

SVOLGIMENTO DELLA 4^ FASE

• Punto d’intersezione tra due rette

Date due rette a e b , il punto comune P = a∩b si ottiene risolvendo il sistema fra le due equazioni:

Si può procedere anche graficamente disegnando la due rette e “leggendo” le coordinate del loro punto d’intersezione: P (x1;y1)

• Distanza di un punto da una retta
  
  Dato un punto P (x0;y0) ed una retta r: y = mx + q, la distanza di P da r si calcola applicando la seguente formula:

LEZIONE 3

SVOLGIMENTO DELLA 3^ FASE


Sia data l’equazione della retta in forma esplicita (y = mx + q) ed un punto P (x1;y1). La retta passa per il punto P se e solo se le coordinate di P soddisfano l’equazione data, ossia deve essere:

y1 = mx1 + q

Sottraendo dall’equazione della retta questa identità, si ha che al variare di m l’equazione:

y – y1 = m(x – x1)

rappresenta il fascio proprio di rette passanti per il punto P (x1;y1).

ESEMPIO:

l’equazione di tutte le rette passanti per A (3;2), cioè l’equazione del fascio di rette di centro A, è:

y – yA = m(x – xA). Sostituendo le coordinate del punto A: y – 2 = m(x – 3).

• Retta del fascio passante per un punto dato
  
  Si “impone al fascio di rette di passare per il punto dato, cioè si sostituiscono nell’equazione del fascio le coordinate del punto dato: si ottiene così un’equazione nell’incognita m; trovato m, lo si sostituisce nell’equazione del fascio.

ESEMPIO:

dato il fascio di rette di centro B (2;3), si vuole determinare l’equazione della retta che passa per il punto C (0;1).

Equazione del fascio di centro B: y – 3 = m(x – 2)

“Imponiamo” l’appartenenza a C (0;1): -1-3 = m (0-2) → -4 = -2m → m = 2

Sostituiamo il valore di m trovato nell’equazione del fascio di rette di centro B:
y-3 = 2 (x – 2) → y – 3 = 2x - 4 → y = 2x – 1 .

• Retta passante per un punto e parallela o perpendicolare ad una retta data
  
  Si scrive l’equazione del fascio passante per il punto dato e si sostituisce il valore del coefficiente angolare secondo la condizione di parallelismo o di perpendicolarità.

ESEMPIO:

dati il punto B (-2;1) e la retta s: y = 2x – 1, trovare:
1) l’equazione della retta t passante per il punto B e parallela alla retta s;
2) l’equazione della retta w passante per il punto B e perpendicolare alla retta s.

Trovo l’equazione del fascio di rette di centro B: y + 1 = m (x + 2)

1) essendo la retta t parallela alla retta s, le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare, da cui: y + 1 = 2 (x + 2) → y + 1 = 2x + 4. Si ottiene così t: y = 2x – 3.
2) Essendo la retta w perpendicolare alla retta s, le due rette hanno coefficienti angolari inversi e di segno opposto, da cui: y + 1 = -1/2 (x + 2) → y + 1 = -x/2 – 1. Si ottiene così w: y = -x/2 – 2.

• Retta passante per due punti

Per scrivere l’equazione della retta passante da due punti A (xA;yA) e B (xB;yB) dati, è sufficiente scrivere l’equazione del fascio di rette di centro A (oppure B) e sostituirvi il valore del coefficiente angolare ottenuto con la formula qui a fianco.

Tale formula è facilmente ricavabile, basti pensare che le coordinate del punto B devono soddisfare l’equazione del fascio di rette di centro A : y – yA = m (x – xA), ossia deve essere:

yB – yA = m (xB – xA). E’ ora immediato il calcolo di m.

LEZIONE 2

SVOLGIMENTO DELLA 2^ FASE

Una qualsiasi funzione lineare, cioè che ha equazione di 1° gardo, ha per diagramma cartesiano una retta.

ax + by + c = 0 equazione generale o implicita della retta
con a, b e c numeri reali

Ricordando che l’equazione dell’asse x è y = 0 e dell’asse y è x = 0, si determinano le intersezioni di una retta con gli assi cartesiani risolvendo i sistemi:



Si ottengono così due punti, uno per ciascun asse cartesiano, che verranno indicati come intercette sugli assi.
Esse risultano dipendenti dai coefficienti a, b e c secondo le relazioni:







Isolando la y (e cambiando nome ai coefficienti) si ottiene
l’equazione della retta in forma esplicita: y = mx + q

• m è il coefficiente angolare ed esprime l’inclinazione della retta.


• q è l’intercetta sull’asse y ed indica il punto in cui la retta incontra l’asse delle ordinate quando la variabile x assume valore 0.

Caso particolare della retta in forma esplicita è la retta passante dall’origine degli assi, quella in cui l’intercetta sull’asse y è pari a 0 (q = 0): y = mx

• Due rette aventi coefficienti angolari uguali sono parallele, esse hanno equazioni del tipo:

y = mx + q ed y = mx + n

dove m è il coefficiente angolare comune ad entrambe.
Per cui la condizione di parallelismo di due rette è che i loro coefficienti angolari siano uguali.

Se m › 0 la retta è crescente;
Se m ‹ 0 la retta è decrescente.

• Due rette aventi coefficienti angolari inversi uno dell’altro e di segno opposto sono perpendicolari (o ortogonali), esse hanno equazione del tipo:

Per cui la condizione di perpendicolarità di due rette è che il prodotto dei loro coefficienti angolari sia uguale a -1.

LEZIONE 1

SVOLGIMENTO DELLA 1^ FASE

Il piano cartesiano è il sistema di riferimento nel piano della geometria euclidea ed è costituito da due rette ortogonali orientate: asse delle ascisse (o asse delle x) ed asse delle orinate (o asse delle y).
La loro intersezione si dice origine degli assi: O = x∩y.

Ogni parte in cui è diviso il piano è detto quadrante.
I quadranti sono ordinati convenzionalmente in senso antiorario a partire da quello delimitato dai semiassi positivi.

Ogni punto del piano cartesiano è individuato da una coppia di numeri reali (x;y) detti coordinate.
La coordinata x si dice ascissa ed indica la distanza dall’asse y.
La coordinata y si dice ordinata ed indica la distanza dall’asse x.

Nel primo quadrante sono compresi i punti di ascissa ed ordinata positive.
Nel secondo quadrante sono compresi i punti di ascissa negativa ed ordinata positiva.
Nel terzo quadrante sono compresi i punti di ascissa ed ordinata negative.
Nel quarto quadrante sono compresi i punti di ascissa positiva ed ordinata negativa.

ESEMPIO: rappresentazione dei punti nel piano :

Siano A(x1; x2) e B(y1;y2) due punti nel piano. La lunghezza del segmento AH è calcolata come differenza, in valore assoluto, tra x2 ed x1 : AH = x2-x1. Ne deriva che la lunghezza del segmento BH = y2-y1.

E’ ora immediato, utilizzando il teorema di Pitagora, calcolare la distanza tra due punti, e più precisamente:

Le coordinate del punto medio M di un segmento AB si ottengono come media aritmetica delle coordinate degli estremi:

M = ((XA + XB)/2 ; (YA + YB)/2)