LEZIONE 3

SVOLGIMENTO DELLA 3^ FASE


Sia data l’equazione della retta in forma esplicita (y = mx + q) ed un punto P (x1;y1). La retta passa per il punto P se e solo se le coordinate di P soddisfano l’equazione data, ossia deve essere:

y1 = mx1 + q

Sottraendo dall’equazione della retta questa identità, si ha che al variare di m l’equazione:

y – y1 = m(x – x1)

rappresenta il fascio proprio di rette passanti per il punto P (x1;y1).

ESEMPIO:

l’equazione di tutte le rette passanti per A (3;2), cioè l’equazione del fascio di rette di centro A, è:

y – yA = m(x – xA). Sostituendo le coordinate del punto A: y – 2 = m(x – 3).

• Retta del fascio passante per un punto dato
  
  Si “impone al fascio di rette di passare per il punto dato, cioè si sostituiscono nell’equazione del fascio le coordinate del punto dato: si ottiene così un’equazione nell’incognita m; trovato m, lo si sostituisce nell’equazione del fascio.

ESEMPIO:

dato il fascio di rette di centro B (2;3), si vuole determinare l’equazione della retta che passa per il punto C (0;1).

Equazione del fascio di centro B: y – 3 = m(x – 2)

“Imponiamo” l’appartenenza a C (0;1): -1-3 = m (0-2) → -4 = -2m → m = 2

Sostituiamo il valore di m trovato nell’equazione del fascio di rette di centro B:
y-3 = 2 (x – 2) → y – 3 = 2x - 4 → y = 2x – 1 .

• Retta passante per un punto e parallela o perpendicolare ad una retta data
  
  Si scrive l’equazione del fascio passante per il punto dato e si sostituisce il valore del coefficiente angolare secondo la condizione di parallelismo o di perpendicolarità.

ESEMPIO:

dati il punto B (-2;1) e la retta s: y = 2x – 1, trovare:
1) l’equazione della retta t passante per il punto B e parallela alla retta s;
2) l’equazione della retta w passante per il punto B e perpendicolare alla retta s.

Trovo l’equazione del fascio di rette di centro B: y + 1 = m (x + 2)

1) essendo la retta t parallela alla retta s, le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare, da cui: y + 1 = 2 (x + 2) → y + 1 = 2x + 4. Si ottiene così t: y = 2x – 3.
2) Essendo la retta w perpendicolare alla retta s, le due rette hanno coefficienti angolari inversi e di segno opposto, da cui: y + 1 = -1/2 (x + 2) → y + 1 = -x/2 – 1. Si ottiene così w: y = -x/2 – 2.

• Retta passante per due punti

Per scrivere l’equazione della retta passante da due punti A (xA;yA) e B (xB;yB) dati, è sufficiente scrivere l’equazione del fascio di rette di centro A (oppure B) e sostituirvi il valore del coefficiente angolare ottenuto con la formula qui a fianco.

Tale formula è facilmente ricavabile, basti pensare che le coordinate del punto B devono soddisfare l’equazione del fascio di rette di centro A : y – yA = m (x – xA), ossia deve essere:

yB – yA = m (xB – xA). E’ ora immediato il calcolo di m.